Řešené příklady: Derivace složené funkce

Pro výpočty derivací složených funkcí používáme vzorec:

\[\left [ f(g(x)) \right ]'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Příklady:
Určete derivaci funkce

1. \(f(x)=(2+3x^{2})^{5}\)

2. \(f(x)=sin^{2}x\)
3. \(f:y=\sqrt{lnx}\)
4. \(f(x)=\sqrt{x^{3}-x}\)
5. \(f(x)=x\cdot lnx\)


Řešení příkladů:

1.
\(f(x)=(2+3x^{2})^{5}\)
\(f'(x)=5(2+3x^{2})^{5-1}\cdot (3\cdot 2x^{2-1})=5(2+3x^{2})^{4}\cdot 6x=30x(2+3x^{2})^{4}\)

2.

\(f(x)=sin^{2}x\)
\(f'(x)=((sinx)^{2})'=2\cdot sinx\cdot (sinx)'=2\cdot sinx\cdot cosx=sin2x\)

3.
\(f:y=\sqrt{lnx}\)
\(f':y=((lnx)^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}(lnx)^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{2\sqrt{lnx}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{lnx}}\)

4.
\(f(x)=\sqrt{x^{3}-x}\)
\(f'(x)=((x^{3}-x)^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}(x^{3}-x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (x^{3}-x)'=\frac{1}{2}(x^{3}-x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3x^{2}-1)=\frac{1}{2\sqrt{(x^{3}-x)}}\cdot (3x^{2}-1)=\frac{3x^{2}-1}{2\sqrt{(x^{3}-x)}}\)

5.
\(f(x)=x\cdot lnx\)
\(f'(x)=(x)'(lnx)+(x)(lnx)'=1(lnx)+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+\frac{x}{x}=lnx+1\)

Sdílet na Google Plus

Článek publikoval(a): Alesia

"You don't just give up. You don't just let things happen. You make a stand! You say no! You have the guts to do what's right, even when everyone else just runs away."
"Don't let the muggles get you down."